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Uno de niño tiene una curiosidad insaciable y por desgracia como adultos la vamos perdiendo. Cuantas veces no nos preguntamos por qué las cosas son hechas de determinado tamaño y forma. Así como muchas cosas comparten proporciones, cuadernos, ventanas, puertas, libros, fotografías, etc., nos ha intrigado su aparente simpleza de forma.
Históricamente los rectángulos se han dividido en rectángulos estáticos y dinámicos. Se dice que un rectángulo es estático cuando la relación entre sus lados es un número racional, es decir un número entero o fraccionario, o lo que es lo mismo, que existe una medida común que está contenida en ambos un número exacto de veces; por ejemplo un rectángulo que mida 2x4.
Por otro lado se dice que un rectángulo es dinámico cuando la relación entre sus lados es un número irracional. Estos, los rectángulos dinámicos, han servido de base a los formatos del papel y de los artilugios derivados de él.
La proporción más usada, no solo por el ingenio humano también por la Naturaleza, es la llamada "Proporción Áurea". De entre los rectángulos dinámicos podemos destacar el Rectángulo Áureo el cual cumple la regla de la proporción áurea, la cual ya era conocida y utilizada desde los tiempos más remotos; los Egipcios y Griegos la utilizaron profusamente, cayendo después en el olvido hasta que el alemán Zeysing la revalorizó en 1850.
La Proporción Áurea o también conocida como Divina Proporción se puede definir de la siguiente forma:
Es una relación entre longitudes tal que
Se representa con la letra griega Φ, su valor exacto es
y su valor aproximado
Lo cual es un número irracional.
Del cuadrado (rectángulo donde la relación entre sus lados es raíz de 1=1) obtenemos todos los rectángulos dinámicos mediante simples operaciones geométricas, por ejemplo el rectángulo de proporción raíz de dos se construye a partir del cuadrado llevando la diagonal sobre la prolongación de su base.
Si los lados del cuadrado miden 1 su diagonal, según el teorema de Pitágoras, medirá raíz de (1+1)= raíz de 2, por lo tanto el lado mayor del rectángulo obtenido mide raíz 2 y el menor 1, con lo que la relación lado mayor/lado menor es igual a raíz de 2. Si abatimos la diagonal del rectángulo raíz de dos sobre la prolongación de su lado mayor obtendremos el rectángulo cuya relación entre lados es raíz de 3.
La construcción del rectángulo áureo es análoga a las anteriores pero en lugar de abatir la diagonal del cuadrado, lo que se hace es dividir el cuadrado en dos y abatir la diagonal de una de las mitades sobre la base del cuadrado. Esta diagonal mide, de acuerdo al teorema de Pitágoras:
El rectángulo resultante tiene el lado menor que mide 1 y el mayor que mide:
Por lo tanto la relación lado mayor/lado menor es Φ (proporción áurea). Esta es una de las formas de calcular el valor de la proporción áurea.
El valor de Φ (Phi) no es un número exacto y sus fracciones tienden al infinito.
La secuencia de Fibonacci es una secuencia infinita de números que comienza por: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., en la que cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores. Así: 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 13=8+5, etc . Para cualquier valor mayor que 3, contenido en la secuencia, la proporción entre cualesquiera dos números consecutivos es 1,618…, o Sección Áurea.
La secuencia de Fibonacci se puede encontrar en la naturaleza, en la que la flor del girasol, por ejemplo, tiene veintiún espirales que van en una dirección y treinta y cuatro que van en la otra; ambos son números consecutivos de Fibonacci. Entre la relación de los largos de las falanges de la mano humana es otro ejemplo. En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva circunvolución completa cumplirá una proporción de 1: 1,618, si se compara con la distancia desde el centro de la espiral precedente.
En otras palabras la proporción Áurea es un equilibrio entre las partes que llamaríamos: estético, agradable, bonito, bello, elegante, artístico…
De acuerdo a la serie de Fibonacci una tabla de proporciones sería:
1x1
1x2
2x3
3x5
5x8
8x13
Donde la columna de la izquierda es una serie de Fibonacci completa (1,1,2,3,5,8...)y la de la derecha lo es empezando del segundo “1” (1,2,3,5,8...), creado un desfaz de uno n{umero de Fibonacci entre una y otra.
Pero también podemos usar la tabla de proporciones anterior, creando valores de forma cruzada, así en "A" tenemos una serie de proporciones áureas, con su primera columna una serie de Fibonacci completa y la segunda lo es empezando de “2”. En B, es una serie de proporciones equivalentes (estática):
A.............B
1x2........ 1x1
1x3........ 2x2
2x5........ 3x3
3x8........ 5x5
5x13 ..... 8x8
8x21.... 13x13
O tomando el segundo componente de la proporción “A” (2) como primero, y sumando el primero al segundo para el segundo componente (1+2), la nueva tabla de proporciones es:
C
2x3
3x4
5x7
8x11
13x18
21x29
Donde la columna izquierda es una serie a partir de los consecutivos “2 y 3”, y la derecha de los consecutivos “3 y 4”.
De la serie de proporción “C” hacemos las series de proporciones a partir de sus columnas izquierda y derecha; donde los consecutivos los convertimos en complementarios:
Izquierda.........Derecha
2x3....................3x4
3x5....................4x7
5x8....................7x11
8x13................11x18
13x21..............18x29
La serie izquierda de nuevo es la serie de proporciones de Fibonacci ; y la derecha es una serie a partir de los consecutivos “3 y 4”.
Y sí sacamos una tabla con los valores cruzados:
2x4..................3x3
3x7..................4x5
5x11................7x8
8x18................11x13
13x29..............18x21
Y así podemos seguir buscando combinaciones, donde todas son proporciones áureas.
Hemos encontrado algunas de las proporciones usadas en los formatos fotográficos, otras proporciones son múltiplos de proporciones que en su forma básica no se usan frecuentemente, como: 3x4, multiplicada por 4, nos da 12x16; ó 4.5x6 por dos y tenemos 9x12.
De las 8 medidas Continentales (centímetros) más comunes 5 derivan de la proporción 3x4.
Las medidas Inglesas (pulgadas) usan como base la serie “C” y en especial la proporción 4x5.
En la tabla se pueden ver tanto las medidas Inglesas en pulgadas y su equivalente en centímetros; como las Continentales en centímetros con su equivalencia en pulgadas.
Existen una amplia variedad de formatos fuera de las líneas comerciales, donde es interesante descubrir el origen de sus proporciones: como 4x13 (la mitad longitudinal de 8x13), 6x10 (el doble de 3x5), 2 ½ x 1 ½ (la mitad de 5x3), 2 ¼ x 4 ( la cuarta parte de 9x16), etc.
Cuando nos ponemos a medir físicamente los productos, en el caso específico de los materiales fotográficos, no siempre miden lo que se supone. Las medidas exactas de una proporción son un ideal, tanto para la producción artesanal como industrial; y existen ciertos parámetros a respetar de manera consensuada entre los fabricantes (estandarización).
Uno de niño tiene una curiosidad insaciable y por desgracia como adultos la vamos perdiendo. Cuantas veces no nos preguntamos por qué las cosas son hechas de determinado tamaño y forma. Así como muchas cosas comparten proporciones, cuadernos, ventanas, puertas, libros, fotografías, etc., nos ha intrigado su aparente simpleza de forma.
Históricamente los rectángulos se han dividido en rectángulos estáticos y dinámicos. Se dice que un rectángulo es estático cuando la relación entre sus lados es un número racional, es decir un número entero o fraccionario, o lo que es lo mismo, que existe una medida común que está contenida en ambos un número exacto de veces; por ejemplo un rectángulo que mida 2x4.
Por otro lado se dice que un rectángulo es dinámico cuando la relación entre sus lados es un número irracional. Estos, los rectángulos dinámicos, han servido de base a los formatos del papel y de los artilugios derivados de él.
La proporción más usada, no solo por el ingenio humano también por la Naturaleza, es la llamada "Proporción Áurea". De entre los rectángulos dinámicos podemos destacar el Rectángulo Áureo el cual cumple la regla de la proporción áurea, la cual ya era conocida y utilizada desde los tiempos más remotos; los Egipcios y Griegos la utilizaron profusamente, cayendo después en el olvido hasta que el alemán Zeysing la revalorizó en 1850.
La Proporción Áurea o también conocida como Divina Proporción se puede definir de la siguiente forma:
Es una relación entre longitudes tal que
a/b = b/(a − b)
Se representa con la letra griega Φ, su valor exacto es
Φ = 1/2 · (1 + √5)
y su valor aproximado
Φ ≈ 1,618...
Lo cual es un número irracional.
Del cuadrado (rectángulo donde la relación entre sus lados es raíz de 1=1) obtenemos todos los rectángulos dinámicos mediante simples operaciones geométricas, por ejemplo el rectángulo de proporción raíz de dos se construye a partir del cuadrado llevando la diagonal sobre la prolongación de su base.
Si los lados del cuadrado miden 1 su diagonal, según el teorema de Pitágoras, medirá raíz de (1+1)= raíz de 2, por lo tanto el lado mayor del rectángulo obtenido mide raíz 2 y el menor 1, con lo que la relación lado mayor/lado menor es igual a raíz de 2. Si abatimos la diagonal del rectángulo raíz de dos sobre la prolongación de su lado mayor obtendremos el rectángulo cuya relación entre lados es raíz de 3.
La construcción del rectángulo áureo es análoga a las anteriores pero en lugar de abatir la diagonal del cuadrado, lo que se hace es dividir el cuadrado en dos y abatir la diagonal de una de las mitades sobre la base del cuadrado. Esta diagonal mide, de acuerdo al teorema de Pitágoras:
El rectángulo resultante tiene el lado menor que mide 1 y el mayor que mide:
Por lo tanto la relación lado mayor/lado menor es Φ (proporción áurea). Esta es una de las formas de calcular el valor de la proporción áurea.
El valor de Φ (Phi) no es un número exacto y sus fracciones tienden al infinito.
La secuencia de Fibonacci es una secuencia infinita de números que comienza por: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13..., en la que cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores. Así: 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 13=8+5, etc . Para cualquier valor mayor que 3, contenido en la secuencia, la proporción entre cualesquiera dos números consecutivos es 1,618…, o Sección Áurea.
La secuencia de Fibonacci se puede encontrar en la naturaleza, en la que la flor del girasol, por ejemplo, tiene veintiún espirales que van en una dirección y treinta y cuatro que van en la otra; ambos son números consecutivos de Fibonacci. Entre la relación de los largos de las falanges de la mano humana es otro ejemplo. En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva circunvolución completa cumplirá una proporción de 1: 1,618, si se compara con la distancia desde el centro de la espiral precedente.
En otras palabras la proporción Áurea es un equilibrio entre las partes que llamaríamos: estético, agradable, bonito, bello, elegante, artístico…
De acuerdo a la serie de Fibonacci una tabla de proporciones sería:
1x1
1x2
2x3
3x5
5x8
8x13
Donde la columna de la izquierda es una serie de Fibonacci completa (1,1,2,3,5,8...)y la de la derecha lo es empezando del segundo “1” (1,2,3,5,8...), creado un desfaz de uno n{umero de Fibonacci entre una y otra.
Pero también podemos usar la tabla de proporciones anterior, creando valores de forma cruzada, así en "A" tenemos una serie de proporciones áureas, con su primera columna una serie de Fibonacci completa y la segunda lo es empezando de “2”. En B, es una serie de proporciones equivalentes (estática):
A.............B
1x2........ 1x1
1x3........ 2x2
2x5........ 3x3
3x8........ 5x5
5x13 ..... 8x8
8x21.... 13x13
O tomando el segundo componente de la proporción “A” (2) como primero, y sumando el primero al segundo para el segundo componente (1+2), la nueva tabla de proporciones es:
C
2x3
3x4
5x7
8x11
13x18
21x29
Donde la columna izquierda es una serie a partir de los consecutivos “2 y 3”, y la derecha de los consecutivos “3 y 4”.
De la serie de proporción “C” hacemos las series de proporciones a partir de sus columnas izquierda y derecha; donde los consecutivos los convertimos en complementarios:
Izquierda.........Derecha
2x3....................3x4
3x5....................4x7
5x8....................7x11
8x13................11x18
13x21..............18x29
La serie izquierda de nuevo es la serie de proporciones de Fibonacci ; y la derecha es una serie a partir de los consecutivos “3 y 4”.
Y sí sacamos una tabla con los valores cruzados:
2x4..................3x3
3x7..................4x5
5x11................7x8
8x18................11x13
13x29..............18x21
Y así podemos seguir buscando combinaciones, donde todas son proporciones áureas.
Hemos encontrado algunas de las proporciones usadas en los formatos fotográficos, otras proporciones son múltiplos de proporciones que en su forma básica no se usan frecuentemente, como: 3x4, multiplicada por 4, nos da 12x16; ó 4.5x6 por dos y tenemos 9x12.
De las 8 medidas Continentales (centímetros) más comunes 5 derivan de la proporción 3x4.
Las medidas Inglesas (pulgadas) usan como base la serie “C” y en especial la proporción 4x5.
En la tabla se pueden ver tanto las medidas Inglesas en pulgadas y su equivalente en centímetros; como las Continentales en centímetros con su equivalencia en pulgadas. Existen una amplia variedad de formatos fuera de las líneas comerciales, donde es interesante descubrir el origen de sus proporciones: como 4x13 (la mitad longitudinal de 8x13), 6x10 (el doble de 3x5), 2 ½ x 1 ½ (la mitad de 5x3), 2 ¼ x 4 ( la cuarta parte de 9x16), etc.
Cuando nos ponemos a medir físicamente los productos, en el caso específico de los materiales fotográficos, no siempre miden lo que se supone. Las medidas exactas de una proporción son un ideal, tanto para la producción artesanal como industrial; y existen ciertos parámetros a respetar de manera consensuada entre los fabricantes (estandarización).
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